INTEGRALES - Propiedades de Las Primitivas de Una Funcion

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

PRIMERA PROPIEDAD: Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un numero), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x). Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

Encontrar tres primitivas de la función cos x.

Se sabe que sen x es una primitiva de cos x. Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

sen x + 3, sen x – ln 2, sen x + π/3.

SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C.

TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante.

Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte. Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x)= C.

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);

Si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).

Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

La idea que aparece detrás de esta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente. Si no es posible esto escoja u como alguna parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la primera conjetura sea errónea, si la suposición no funciona se debe intentar con otra. En general este método se usa siempre que tenemos una integral de la forma

Si F' = f entonces

= F[g(x)] + c porque la regla de la cadena de la derivación

F[g(x)] = F' [g(x)] . g' (x)

Se probó la siguiente regla:

REGLA DE SUSTITUCIÓN: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces

= F[g(x)] + c = F(u) + c =

a bien si se escribe F' = f se obtiene

Se probó la siguiente regla:

REGLA DE SUSTITUCIÓN: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces

REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable.

Regla de sustitución para integrales definidas:

Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u = g(x) entonces

Demostración:

Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(x)] es una antiderivada de f[g(x)]g' (x) con lo que

F[g(b)] - F[g(a)].

Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema

= F[g(b)] - F[g(a)].

En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral definida, debemos poner todo en términos de la nueva variables u, no sólo x y dx sino también los límites de integración. Los nuevos límites de integración son los valores de u que corresponden a x = a y x = b.

INTEGRACIÓN POR PARTES

Toda regla de derivación tiene una correspondiente de integración. La regla de sustitución de la integración corresponde a la regla de la cadena en la derivación. La regla que corresponde a la regla del producto de la derivación se llama regla de la integración por partes. La regla del producto expresa que si f y g son funciones diferenciables entonces

= f(x)g' (x) + f' (x)g(x)

Si hallamos la integral indefinida

f(x) . g(x) =

= f(x) . g(x) -

Esta es la fórmula de integración por partes.

Para que resulte más fácil de recordar se puede utilizar la siguiente notación: sea u = f(x) y v = g(x). Entonces du = f' (x)dx y dv = g' (x)dx. Por la regla de sustitución resulta:

El objetivo al aplicar la integración por partes es obtener una integral más sencilla que la inicial. Al decidir una selección par u y dv se trata que u = f(x) sea una función que se simplifique cuando se derive (o al menos no se complique) mientras que dv = g' (x)dx se pueda integrar fácilmente para encontrar v.

Para integrales definidas, si f' y g' son continuas

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (debida a Thomas no a Homero).

Solución