Isaac Newton



Historia

Isaac Newton (1642-1727) nacíó el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado por entonces en Inglaterra, o el 4 de Enero de 1643 con respecto a nuestro calendario Gregoriano. Fue profesor de matemáticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda en Londres. Sus principales ideas fueron desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natal de la aldea de Woolsthorpe, ya que el Trinity College de Cambridge, donde Newton era estudiante, estuvo cerrado por la epidemia de la peste. Alli desarrolló sus ideas de la gravitación universal, de la teoría de los colores y sobre la serie del binomio y el cálculo de fluxiones.

De naturaleza entonces tímida era reacio a publicar sus resultados, para asi evitar las posibles críticas y controversias de sus contemporáneos.

En Octubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693.

Sin embargo estos fueron publicados hasta bien tarde y algunos sólo lo fueron después de su muerte. De analysifue publicado en 1711 y el tratado sobre cuadratura de curvas, De Quadratura Curvarum de 1693 apareció como un apéndice de su Opticksen 1704. Su obra más famosa, donde expone su teoría de la gravitación universal, los Principia,fue publicada en 1687, pero sus argumentos son muy geométricos y sólo dan una idea de sus métodos del cálculo infinitesimal.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

 Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facultad de filosofía de la universidad de Leipzig. De joven, estudió filosofía, derecho y lenguas clásicas. Su principal interés estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simbólico para representar los conceptos fundamentales del pensamiento humano y las maneras de combinar estos símbolos para llegar a conceptos más elaborados. Esta idea filosófica, que tiene relación con la combinatoria, fue ya algo en parte elaborada por franciscano mallorquín Ramón Llull (1235-1316) en su Arte Luliano.

 Poco después de acabar sus estudios, Leibniz empezó en 1672 una misión diplomática en Paris donde permanecería unos cuatro años hasta 1676. Allí conoció a numerosos filósofos y miembros de la alta sociedad, en particular al holandés C. Huygens (1629-1695), entonces miembro de la recién creada Académie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le planteó a Leibniz que hallara la suma de los inversos de los números triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creció su interés en estudiar matemáticas, cuya formación hasta entonces había sido muy escasa. Huygens le recomendó que leyera la renovada edición en latín de van Schooten de la Géometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. La entrada matemática de Leibniz fue entonces impresionante, ya que le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684 y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.

 El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.

 Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos  "" y  "d" de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.

Leibniz pasó la mayor parte del resto de su vida en Alemania, como consejero del duque de Hannover. Aparte de la invención y del desarrollo de su cálculo y en la solución de problemas geométricos y de ecuaciones diferenciales, Leibniz tiene otros trabajos en solvabilidad de ecuaciones y determinantes y escribió y contribuyó enormemente en prácticamente todos los campos del conocimiento humano, religión,
política, historia, física, mecánica, tecnología, lógica, geología, linguística e historia natural.

 Aunque oscuros y difíciles de leer, los dos artículos de Acta de Leibniz de 1684 y 1686 fueron leidos por los hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Jakob Bernoulli era profesor de matemáticas en Basilea y su hermano Johann, unos trece años más joven, le sucedió después en 1705. Ambos entendieron notablemente el simbolismo y los conceptos de Leibniz y publicaron varios artículos en Acta a partir de 1690.

Después iniciaron una intensa y productiva correspondencia con Leibniz, resolviendo en unos pocos años numerosos problemas en los que el nuevo cálculo demostró toda su fuerza, tales como el la isocrona, la catenaria, la tractriz, la isocrona paracéntrica o la braquistocrona.

Sus años más fecundos fueron durante el periodo 1665-1666 cuando cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debido a la peste bubónica. Newton se recluyó en su casa natal y allí descubrió el Teorema del binomio, el cálculo diferencial e integral, la ley de gravitación universal y la Teoría de los colores. Prácticamente todos los descubrimientos importantes de su vida.

Newton tardó mucho en publicar sus trabajos ya que no le gustaban las controversias y quería evitar la crítica de sus contemporáneos.

En los últimos años de su vida fue miembro del parlamento británico y presidente de la Royal Society y considerado como un tesoro nacional.

Tal como hemos indicado, Newton concibió su cálculo durante los años 1665-1666. Después lo describió en numerosas cartas personales y en un pequeño tratado no publicado, De Analysi (1669) que circuló entre los matemáticos ingleses de la época y que fue en parte incluído en el tratado De Algebra de John Wallis en 1669. Luego organizó y describió todos sus trabajos anteriores sobre el cálculo en De Methodis Serierum et Fluxionumque escribió en 1671, pero que no fue publicado hasta después de su muerte en 1736. La principal obra de Newton es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que fue publicada en 1687 y donde expone muchísimas propiedades sobre las secciones cónicas y su famosa ley de gravitación universal. En este último no muestra realmente su cálculo, ya que los argumentos de Principia son principalmente de geometría sintética.

El último tratado que escribió, pero el primero que se publicó, fue De Quadratura Curvarum. Escrito entre los años 1691-1693 apareció como un apéndice de su Opticks de 1704. Cabe señalar también las dos cartas, donde expone su teorema del binomio, la epistola priorde Junio de 1676 y la epistola posteriorde Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que éste se las transmitiera a Leibniz.

 

El Teorema del Binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:

  "La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema

(P+PQ)m/n=Pm/n+  m n AQ+  m-n 2n BQ+  m-2n 3n CQ+  m-3n 4n DQ+

    Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton quiere decir que toma

  De esta forma queda

+  m n   [  m n -1 ]   [  m n -2 ] 3 x2 Q3+  )

(1+Q)m/n=1+  m n Q+    (  m n )   (  m n -1 ) 2 Q2+   m n   (  m n -1 )   (  m n -2 ) 2x3 Q2+

( a n ) = a(a-1)  (a-n+1) n!

1 1+x =(1+x)-1=1-x+x2-x3+

=(1+x)1/2=1+  x 2 -  x2 8 +  x3 16 +

Ahora sabemos que la serie que define (1+x)^a converge para |x| < 1. Newton no habla de convergencia, pero es consciente de ello y usa cierta intuición en sus cálculos, por ejemplo utilizaba

y=  1 1+x2 =1-x2+x4-x6+x8-

y=  1 1+x2 =  1/x2 1+1/x2 = x-2-x-4-x-6-x-8+

para x grandes.

De Analysi.

    Esta monografía circular de 1669 que mandó Newton a sus amigos y que fue publicado mucho después en latín en 1711 contiene ya las ideas
esenciales del cálculo de Newton. Empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas tal como se ve en en la imagen de la primera
página de esta publicación

REGULAI.           Si       ax m/n=y;           Erit  an m+n x(m+n)/n=Areae   ABD.

 

Primera edición inglesa de De Analysi (1745). Traducción del original en latín.

    Más tarde en el mismo tratado da un procedimiento para hallar la ordenada de una curva cuya cuadratura ABD está dada. El proceso
es interesante ya que es de alguna forma el comienzo del cálculo diferencial e integral y donde se ve el papel inverso que juegan la
diferenciación y la integración. Lo explica con un ejemplo, aunque es claramente generalizable.

    De acuerdo con la figura sean z=área(ABD), y=BD, x=AB, Bb = o. Elijamos ahora v=BK de tal manera que

                                                            área (BDdb) = área( BKHb)=ov.
 

    Consideremos por ejemplo la curva para la cual

z=  2 3 x3/2

para facilitar los cálculos, elevamos al cuadrado la relación anterior para obtener z²=(4/9)x³. Por la elección que hemos hecho de v también se tiene

(z+ov)2=  4 9 (x+o)3

esto es

z2+2zov+o2v2=  4 9 (x3+3x2o+3xo2+o3)

    Simplificando z²= 4/9x³ en cada lado de esta expresión y dividiendo por o queda

2zv+ov2=  4 9 (3x2+3xo+o2)

    Newton toma ahora Bb infinitamente pequeño. De la figura se observa entonces que v=y , y que los términos que contienen o se anulan, de donde

2zy=  4 3 x2

Sustituyendo ahora el valor de z, resulta finalmente y=x^1/2.

  Newton introduce después un método iterativo para resolver ecuaciones que ahora lleva su nombre. Pone como ejemplo el resolver la ecuación

y3-2y-5=0

    Observa primero que y=2 es una aproximación de la solución. Escribe luego y=2+p y lo sustituye en la ecuación para encontrar

p3+6p2+10p-1=0

    Como p es pequeño, elimina los términos p³, 6p², para obtener 10p-1=0, de donde p=0.1. De este modo y=2.1 es la segunda aproximación de la raíz buscada.

    Toma ahora p=0.1+q, que sustituído en la ecuación para p da

q3+6.3 q2+11.23 q+0.061=0

    Tomando otra vez su parte lineal 11.23 q+0.061=0, obtiene q=-0.0054, lo que da el nuevo valor aproximado de la solución y=2.0946. Newton da un paso más en este ejemplo escribiendo -0.0054+r=q, y después sustituir en la ecuación para q y seguir el mismo proceso llega de este modo a la nueva aproximación y=2.09455147.

  Newton aplica luego este método para resolver ecuaciones f(x,y)=0 más generales. Toma como ejemplo

y3+a2y+axy-2a3-x3=0

y observa que si x=0, entonces y=a es la solución. Esta es la primera aproximación. Escribe como antes a+p=y, que sustituído en la ecuación da la cúbica en p

p3+3ap2+(4a2+ax)p+a2x-x3=0

cuya parte lineal es (4a²+ax)p+a²x-x³=0, de solución

p=  -a2x+x3 4a2+ax =-  x 4 +

    De donde toma y=a-x/4 como la segunda aproximación. Escribe ahora q=-x/4+p, etc., y continuando de esta forma va obteniendo la serie

y=a-  x 4 +  x2 64a +  131x3 512a2 +  509x4 16384a3 +

    Más adelante utiliza un proceso parecido para invertir series. Considera el ejemplo de tomar como z el área debajo de la hipérbola
y=1/(1+x), esto es

z=x-  1 2 x2+  1 3 x3-  1 4 x4+  1 5 x5+

    Para invertir esta serie, toma primero sus cinco primeros términos, esto es la ecuación

1 5 x5-  1 4 x4+  1 3 x3-  1 2 x2+x-z=0

la va resolviendo y considerando más términos de la serie a invertir. De esta forma va obteniendo

x=z+  1 2 z2+  1 6 z3+  1 24 z4+  1 120 z5+

que es la serie de la función exponencial e^z. Aunque sin utilizar el número e, esta es la primera vez que aparece esta serie en matemáticas.

A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con la figura




s x=AQ=sin q,    esto es, q= arcsinx, de manera que q = 2 ·área(OQR)=2 ·[área(ORQB)-área(OQB)] = 




Por el desarrollo del binomio




de donde integrando término a término




mientra que




sustituyendo y después de simplificar queda

q = x+  1 6 x3+  3 40 x5+  5 112 x7+

x=sinq = q-  1 6 q3+  1 120 q5-  1 5040 q7+

 

y calcula las cuadraturas de la cicloide y luego de la cuadratriz, de ecuación x=y coty primero invirtiendo esta ecuación para encontrar la serie de y=y(x) y luego integrando término a término.

Newton da luego otra versión de su cálculo en "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum" que fue escrito en 1671 y publicado
en 1736. Wallis, con permiso de Newton, incluyó el método de fluxiones en la páginas 390-396 de su Algebra.

Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades que aparecen (variable) x es un "fluente" y su velocidad, designada por , esto es una x con un puntito encima, es una  "fluxión".

La parte infinitesimal pequeña en la que un fluente se incrementa por unidad de tiempo o, es o el momento del fluente. El problema fundamental es, dada una relación entre fluentes hallar la relación entre sus fluxiones y recíprocamente. Si y=f(x) en un pequeño intervalo o de tiempo x se incrementa a x+o, y se incrementa a

y+o . y   =f(x+o     )      se    tiene      o . y   =f(x+o     )-f(x)

. y   = f(x+o     )-f(x) o

 


Luego elimina los términos que contienen o,  ya que  "se le supone infinitamente pequeño", quedando

. y   =3x2

. y =3x2

. y =xn

 Aplica también su método al caso de tener dada una curva en la forma f(x,y)=0. Por ejemplo considera el caso de la cúbica

3x2     -2a x      +ay      +ax . y   -3y2 . y   =0

. y =  3x2-2ax+ay 3y2-ax

Aparece en su "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum," 1671. Newton considera la circunferencia de centro (1/2,0) y radio 1/2

y=x1/2(1-x)1/2=x1/2 ( 1-  x 2 -  x2 8 -  x3 16 -  5 128 x4-  7 256 x5-  ) =

= x1/2-  1 2 x3/2-  1 8 x5/2-  5 128 x9/2-  7 256 x11/2-

Calcula entonces el área debajo de la curva integrando término a término

A(x)=  2 3 x3/2-  1 5 x5/2-  1 28 x7/2-  1 72 x9/2-  5 704 x11/2-

Luego para x=1/4, el área de la región ADB es igual a

área (ADB)=  1 12 -  1 160 -  1 3584 -  1 36864 -  5 1441792 -  = 0.076663

  Calcula luego la misma área por geometría, ya que

área (ADB)= área(sectorACD)-área(triánguloDBC)

    Para evaluar esta última relación calcula primero




Luego se observa de los lados del triángulo BCD que el ángulo en C es de 60^o. De donde

Mientras que




Por tanto




Igualando los dos valores encontrados anteriormente para esta área resulta




y por consiguiente

valor que aquí hemos calculado correcto hasta cuatro decimales (el error es 1.33 x10^-5). Newton de hecho usa 20 términos del binomio para llegar a calcular p con 16 decimales correctos.

    Luego dice  "I am ashamed to tell you how many figures I carried these calculations, having no other business at the time" (Me avergüenzo de decirle cuantas cifras he calculado, no teniendo nada más que hacer en aquél momento). A pesar de sus afirmaciones, este es un nuevo paso de gigante en el cálculo del número p.